A descida mais rápida não é a reta

A figura

Três pistas ligam os mesmos dois pontos: uma reta, um arco de círculo e uma cicloide — a curva que um ponto da borda de uma roda descreve rolando. Três bolas saem juntas do repouso, sem atrito. A reta é o caminho mais curto, mas não o mais rápido: a cicloide desce íngreme no começo, ganha velocidade cedo, e chega primeiro.

$$x=r(\theta -\mathrm{sen}\theta ),y=r(1-\cos \theta ).$$

A conta

Pela conservação da energia, depois de descer uma altura $y$ a bola tem velocidade $v=\sqrt{2gy}$, e o tempo de percurso é a soma de comprimento sobre velocidade, $T=\int \mathrm{d}s/\sqrt{2gy}$. Pela cicloide, até o fundo, isso dá exatamente $\pi \sqrt{r/g}$. Com $r=1$ m, uns 1,00 s, contra 1,19 s pela reta.

O problema foi lançado por Johann Bernoulli em 1696 como desafio aos matemáticos da Europa. Responderam Leibniz, Jakob Bernoulli, L’Hôpital — e Newton, anonimamente, numa noite. Johann teria reconhecido o autor “pela garra do leão”. A cicloide ainda tem outra propriedade: saindo de qualquer altura, a bola chega ao fundo no mesmo tempo (é a tautócrona, de Huygens).