Você não precisa da fórmula de Bhaskara

Um quadrado perfeito

$x^2+4x+4=0$. Você reconhece: é um quadrado perfeito, $(x+2{)}^2$. E se um quadrado dá zero, o que está dentro dele é zero — $x=-2$. Sem fórmula, sem delta.

Agora troque só o último número: $x^2+4x+1=0$. Esse não é quadrado perfeito e não fatora de cabeça. Mas o começo é o mesmo. Mande o 1 para o outro lado e some o 4 que falta, dos dois lados:

$$x^2+4x+4=-1+4⟹(x+2{)}^2=3⟹x+2=\pm \sqrt{3}.$$

Duas respostas, $x=-2+\sqrt{3}$ e $x=-2-\sqrt{3}$. E repare que o $\pm$ ninguém decorou: ele nasceu da raiz, porque $3$ tem duas raízes quadradas. A equação não era um quadrado, e foi escrita como um quadrado mesmo assim. E se desse para fazer isso com todas?

Com qualquer a, b e c

Então vamos fazer. $a{x}^2+bx+c=0$, qualquer uma. O estorvo é o $a$ na frente do $x^2$: divida tudo por ele (e pode, porque com $a=0$ a equação nem seria do segundo grau) e mande o termo sem $x$ para o outro lado:

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$$

É a situação do exemplo: dois termos que são o começo de um quadrado. Lá faltava a metade de 4, ao quadrado; aqui falta a metade de $\frac{b}{a}$, ao quadrado. Some isso dos dois lados:

$$x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2=-\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2⟹{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

Esse numerador tem nome, e agora dá para ver de onde ele vem: é o que sobra depois de completar o quadrado. É o delta, $\Delta =b^2-4ac$. Tire a raiz dos dois lados — o $\pm$ aparece pelo mesmo motivo de antes — e isole $x$:

$$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}⟹x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.$$

Essa é a fórmula que você decorou. Ela não é uma regra: é o resultado de quatro linhas de conta.

O quadrado era literal

Esse “complete o quadrado” não é figura de linguagem. Bagdá, por volta do ano 820: al-Khwarizmi escreve o livro cujo título carrega a palavra al-jabr, que virou “álgebra”. E lá não tem $x$, não tem sinal de igual, não tem letra nenhuma — nada disso existia ainda. O problema é uma frase: um quadrado e dez raízes são iguais a trinta e nove. Hoje escreveríamos $x^2+10x=39$. Ele desenhava.

Um quadrado de lado $x$. O retângulo de $10$ por $x$, cortado ao meio e encostado em dois lados dele. Falta um canto, de $5\times 5$. Complete o quadrado — literalmente, com a mão, no desenho:

$$\underset{39}{\underbrace{x^2+10x}}+\underset{\text{o canto}}{\underbrace{25}}=64=8^2⟹x+5=8⟹x=3.$$

Dividir por dois e elevar ao quadrado, mil e duzentos anos antes da fórmula.

A raiz que não se desenha

Só que essa equação tem duas respostas: $3$ e $-13$. Confira: $(-13{)}^2=169$, $10\times (-13)=-130$, e $169-130=39$. Fecha perfeitamente.

Al-Khwarizmi não erra essa conta: ele simplesmente não a faz. Para ele, $x$ é o lado de um quadrado desenhado, e não existe lado $-13$. A segunda resposta não é falsa — ela é indesenhável. E isso durou séculos. Bhaskara, no século XII, escreve sobre a segunda raiz de um problema que ela não deve ser tomada, por ser inadequada: as pessoas não aprovam raízes negativas. Ele viu, e descartou. Descartes, cinco séculos depois, ainda chamava as raízes negativas de “falsas”.

A raiz impossível

Mexa no último número mais uma vez: $x^2+4x+5=0$. Mesmo começo, mesmo passo, e sai

$$(x+2{)}^2=-1.$$

Um quadrado que dá negativo. O delta é $-4$, e você aprendeu a escrever: não tem solução. No desenho, é a parábola passando inteira acima do eixo — o ponto mais baixo fica em $x=-2$, na altura $1$. Ela não corta.

Em 1545, no Ars Magna, Girolamo Cardano encara um desses de frente: dividir 10 em duas partes cujo produto seja 40. As partes seriam $5+\sqrt{-15}$ e $5-\sqrt{-15}$ — e ele as multiplica assim mesmo:

$$\left(5+\sqrt{-15}\right)\left(5-\sqrt{-15}\right)=25-(-15)=40.$$

Ele mesmo achou aquilo “tão sutil quanto inútil”. Inútil durou até Rafael Bombelli mostrar, em 1572, que essas raízes eram caminho obrigatório para certas equações do terceiro grau — as que têm três raízes reais, mas cuja fórmula passa por raízes de negativos no meio do caminho. Hoje: delta negativo não é ausência de solução, é solução fora da reta. As raízes de $x^2+4x+5$ são $-2+i$ e $-2-i$, simétricas em torno do vértice, numa direção que o desenho não tinha.

O que a fórmula guarda

Cada pedaço da fórmula é uma informação sobre a parábola:

$$x=\underset{\text{o centro}}{\underbrace{-\frac{b}{2a}}}\pm \underset{\text{o afastamento}}{\underbrace{\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}}}$$

$-\frac{b}{2a}$ é o vértice, o centro de simetria. $\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$ é o quanto as raízes se afastam desse centro. E o $\pm$ é a simetria. Somando as duas raízes, os afastamentos se cancelam: a soma é $-\frac{b}{a}$. Multiplicando, sai $\frac{c}{a}$ — as relações de Viète, de graça.

Então não decore. Divida por $a$, complete o quadrado, tire a raiz. Leva quinze segundos, não tem sinal para errar, e a fórmula você reencontra sozinho toda vez.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• O terceiro grau também se resolve por fórmula (Tartaglia e Cardano, 1545), e o quarto (Ferrari, publicado no mesmo livro). Para o quinto grau em diante, Abel e Galois mostraram, no século XIX, que não existe fórmula geral com raízes.
• Como a escrita algébrica nasceu — do papiro ao sinal de igual — está em A ideia mais importante da matemática.
• No laboratório, as quatro vistas juntas.