A ideia mais importante da matemática

A herança

Uma propriedade precisa ser dividida entre três irmãos. A metade fica com o mais velho, um terço com a filha do meio, e o que sobrar com o caçula — que também herda um lote separado, de 8 alqueires. Somando a parte que sobrou e o lote, ele recebe 20 alqueires. Qual era a área da propriedade principal?

Divida a propriedade em seis partes iguais: a metade são três, o terço são duas, e sobra uma para o caçula. Chamando a área total de $x$, aquela parte vale $x/6$, e com o lote tem de dar 20:

$$\frac{x}{6}+8=20⟹\frac{x}{6}=12⟹x=72.$$

A propriedade tinha 72 alqueires. Repare: tudo o que apareceu na equação já estava no enunciado. Nenhuma informação nova entrou. O desenho organizou as partes, e a escrita algébrica segurou essa organização no lugar enquanto os números mudavam.

As torneiras

Uma torneira enche um tanque em quatro horas; outra esvazia o mesmo tanque em seis. As duas abertas, o que acontece? Para comparar os dois fluxos, eles precisam da mesma escala — doze avos:

$$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}\text{do tanque por hora}.$$

Se cada hora enche um doze avos, o tanque inteiro leva 12 horas. Nos dois problemas a equação funciona como registro do raciocínio: mantém juntas quantidades que vieram de lugares diferentes — a herança e o lote, a torneira que enche e a que esvazia — e deixa transformá-las sem recontar o problema desde o começo. Durante quase toda a história, esse registro foi feito com palavras. Os métodos já existiam; o vocabulário, não.

Álgebra em frases

O Papiro de Rhind, copiado por volta de 1650 antes da era comum, tem um problema que pede uma quantidade que, somada à sua sétima parte, dá 19. Hoje escreveríamos $x+\frac{x}{7}=19$. O escriba não escreveu isso, porque essa escrita não existia. Ele usou a falsa posição: começou com uma quantidade conveniente, 7 (cuja sétima parte é fácil), viu que $7+1=8$, e corrigiu na proporção de 8 para 19:

$$x=7\times \frac{19}{8}=16+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}.$$

Um procedimento diferente do nosso — e organizado, e verificável. Ele funciona porque o problema é linear: dobrar o chute dobra o resultado, então qualquer chute serve.

Mais de dois mil anos depois, no século IX, al-Khwarizmi reuniu métodos gerais para equações do primeiro e do segundo grau num livro cujo título deu origem à palavra “álgebra”. Lá dentro, uma equação do segundo grau aparece assim: “um quadrado e vinte e uma unidades são iguais a dez raízes”. Na nossa notação, $x^2+21=10x$, com raízes 3 e 7.

Essa forma de escrever ficou conhecida como álgebra retórica: o raciocínio inteiro acontecia em frases. Não que ninguém tentasse abreviar — Diofanto de Alexandria, no século III, já usava abreviações (a “álgebra sincopada”), e apareceram letras e sinais em muitos lugares. Só que cada autor tinha os seus, e para ler um livro novo era preciso aprender a notação daquele livro antes de chegar na matemática. Por isso ninguém trocou as palavras pelos símbolos de uma vez: a troca levou séculos, passando por manuscritos, traduções, escolas e, depois, pela imprensa.

As duas linhas de Recorde

Em 1557, o médico e matemático galês Robert Recorde publicou The Whetstone of Witte, um livro de álgebra em inglês. Cansado de repetir “é igual a”, ele desenhou duas linhas paralelas do mesmo comprimento, porque, nas palavras dele, nenhuma duas coisas poderiam ser mais iguais. As linhas eram mais compridas que as de hoje, mas o sinal já era o nosso: é o primeiro uso impresso conhecido do sinal de igual na forma moderna. A motivação era prática — economizar palavras.

E o sinal não pegou. Recorde morreu no ano seguinte, em 1558, e as duas linhas passaram mais de sessenta anos praticamente sem uso, até reaparecerem impressas em 1618. A virada veio em 1631, quando dois livros influentes de álgebra, de Thomas Harriot e de William Oughtred, saíram usando o sinal. Daí ele se espalhou. Recorde teve a ideia; quem decidiu usá-la foram outros, décadas depois.

Uma linguagem montada por muitos

Em 1591, François Viète começou a usar letras de maneira sistemática — vogais para as quantidades desconhecidas, consoantes para as conhecidas. Em 1637, em La Géométrie, René Descartes reservou as letras do fim do alfabeto, $x$, $y$ e $z$, para as incógnitas, e as do começo para os dados; é de lá que vem o $x$, e também o expoente escrito no alto, $x^3$. Sinais de operação, coordenadas e, mais tarde, a notação do cálculo foram encontrando formas estáveis — e quando essas convenções passaram a circular juntas, ficou possível escrever relações cada vez mais gerais e trabalhar com elas no papel.

A evolução não foi linear. O Principia, de Newton, em 1687, apresenta forças e órbitas principalmente por geometria. A linha que hoje resume a gravitação,

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2},$$

não está no livro: ela combina a teoria de Newton com convenções que só se firmaram depois, incluindo a própria constante $G$. O mesmo aconteceu com o eletromagnetismo: James Clerk Maxwell apresentou o seu trabalho, em 1865, como um conjunto de equações escalares; nas décadas seguintes, Oliver Heaviside e outros usaram o cálculo vetorial para reorganizar a teoria nas quatro equações compactas que se estudam hoje. A física era a mesma; a escrita é que mudou.

Quando a equação de Schrödinger apareceu, em 1926, quase nada na escrita dela era novo. O sinal de igual é de 1557; a notação de derivada, do século XVII; o $i$ dos números imaginários, de Euler, no século XVIII. Schrödinger herdou tudo isso pronto. O novo ali era a física.

O que o igual afirma

Numa equação, o sinal de igual afirma que as expressões dos dois lados têm o mesmo valor, dentro de um contexto. $2+3=5$: o lado esquerdo descreve uma soma, o direito mostra um número — duas escritas para o mesmo valor. E é essa relação que permite transformar uma equação sem perder o que ela afirma:

$$2x+6=20\stackrel{-6\text{dos dois lados}}{\to }2x=14\stackrel{÷2\text{dos dois lados}}{\to }x=7.$$

Os dois lados mudaram; a relação entre eles, não. Na aritmética da escola, o igual quase sempre aparece logo antes da resposta, e por isso parece um comando para calcular. Mas ao longo desta história ele fez algo mais amplo: ligou a parte da propriedade ao total recebido, registrou o fluxo do tanque, reuniu descrições diferentes de uma mesma lei física. Essa função é mais antiga que o símbolo; Recorde só deu a ela uma forma breve.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• Completar o quadrado, o método de al-Khwarizmi, rende a fórmula inteira do segundo grau: Você não precisa da fórmula de Bhaskara.
• A notação também precisa de regras de leitura — e algumas são só convenção: a ordem das operações.