Afinal, o que é uma integral?

Só com o velocímetro

Você dirigiu quarenta minutos sem olhar o hodômetro, só o velocímetro — que não ficou parado um segundo sequer. Quantos quilômetros andou? Com velocidade constante seria trivial: distância é velocidade vezes tempo. Mas qual velocidade pôr na fórmula? A do começo, a do fim, a maior? Nenhuma foi a velocidade da viagem. A fórmula aceita um número só, e você tem uma velocidade diferente em cada instante.

Então trapaceie um pouquinho: corte os quarenta minutos em pedaços pequenos. Dentro de um pedaço, a velocidade quase não muda — finja que ela é constante ali, multiplique pela duração do pedaço e some todos os pedaços. Pedaços largos erram muito, porque dentro deles a velocidade mudou bastante; pedaços estreitos erram pouco. A pergunta deixa de ser “qual velocidade usar” e vira: para qual número essas somas estão indo quando os pedaços encolhem? É de novo um limite.

Retângulos

No gráfico de velocidade contra tempo, cada pedaço vira uma figura: a largura é um intervalo de tempo, a altura é a velocidade escolhida ali, e a área do retângulo é velocidade vezes tempo — exatamente a distância daquele pedaço. Confira pelas unidades: quilômetros por minuto vezes minutos dá quilômetros. A área não está parecendo uma distância; ela é uma distância, porque faz a mesma multiplicação das mesmas duas grandezas.

Com a viagem do laboratório e a altura tomada no começo de cada pedaço, 4 pedaços dão 42,766 km; 16 pedaços, 40,556 km; 256 pedaços, 40,122 km. O valor exato é 40,096 km.

A definição

Dentro de cada pedaço, qual altura se usa? A do começo, do fim, do meio, a maior? Escolhas diferentes dão somas diferentes — e o resultado que salva tudo é que, para funções bem comportadas (contínuas, por exemplo), todas as escolhas convergem para o mesmo número quando o pedaço mais largo vai a zero. A soma geral, com $x_i^{\ast }$ o ponto escolhido no pedaço $i$, e o seu limite:

$$\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x_i\stackrel{\max \Delta x_i\to 0}{\to }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

O símbolo conta a história inteira: o $\int$ é um S esticado, de soma — Leibniz o desenhou assim de propósito, em 1675; $a$ e $b$ marcam onde a acumulação começa e termina; $f(x)$ é a altura; e o $\mathrm{d}x$ é o que sobrou do $\Delta x$, a largura que encolheu. E cuidado com uma leitura fácil: não é a quantidade de retângulos que importa. Mil retângulos com um deles bem gordo ainda erram feio. É a maior largura que tem de ir a zero.

Uma integral definida é um número. Um só. Entra função e intervalo, sai número — sem ”+ C” nenhum. (O ”+ C” é de outra coisa, a integral indefinida, logo adiante.)

Área com sinal

“Integral é área” esconde uma coisa. Quando a curva passa para baixo do eixo, a altura é negativa e o retângulo contribui negativo. A integral não soma tamanhos: soma o ganho e subtrai a perda. Para a velocidade, faz todo sentido — velocidade negativa é voltar, e voltar tira do deslocamento.

E a ordem dos limites importa: ir de $b$ até $a$ troca o sinal,

$${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x,$$

porque a integral mede uma acumulação orientada, como o deslocamento, e não como a distância percorrida. Ande dez metros e volte dez: o deslocamento é zero, a distância é vinte, e a integral da velocidade responde zero. A área geométrica, que é sempre positiva, pede outra conta — separar as regiões ou integrar o valor absoluto:

$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{sen}t\mathrm{d}t=0,{\int }_0^{2\pi }|\mathrm{sen}t|\mathrm{d}t=4.$$

Não era sobre velocidade

Um pluviômetro mede litros por minuto; multiplique por minutos e sai litros — e como a chuva aperta e afrouxa, integrar a taxa no tempo dá o volume que caiu. Uma barra de metal com densidade variando ao longo do comprimento, em quilogramas por metro: densidade vezes um pedacinho de comprimento dá a massa do pedacinho; integrando, a massa da barra. Potência é energia por tempo: integrar potência no tempo dá energia, e é literalmente o que a conta de luz faz.

$$\frac{\text{L}}{\text{min}}\times \text{min}=\text{L},\frac{\text{kg}}{\text{m}}\times \text{m}=\text{kg},\frac{\text{J}}{\text{s}}\times \text{s}=\text{J}.$$

Em todos, uma taxa ou densidade multiplicada por um pedacinho e somada. A integral não sabe se é chuva, metal ou eletricidade; quem decide o significado é o contexto.

Definida e indefinida

A definida é a que vinha sendo feita: função e intervalo entram, um número sai. (E dobrar o intervalo não dobra o resultado: o pedaço novo tem alturas próprias.) A indefinida responde outra pergunta: quais funções têm $f$ como derivada? A resposta nunca é uma só — se $F$ serve, $F+1$, $F+7$ e $F-1000$ também servem, porque a derivada de uma constante é zero:

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C,\text{com }{F}^{\prime }=f.$$

O $C$ não é pegadinha de professor: sem ele, joga-se fora infinitas soluções corretas. A indefinida é uma família de funções; a definida é um número. Usam o mesmo símbolo porque um teorema liga as duas, e é ele que permite calcular na prática:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$

O $C$ cancela: $(F(b)+C)-(F(a)+C)$. Mas atenção à ordem lógica: antiderivada é um método de calcular; o limite de somas é a definição. O teorema é a ponte — e é uma ponte que alguém teve de construir.

O valor médio

Você acumulou tudo o que a função fez entre $a$ e $b$. Qual altura constante teria produzido a mesma acumulação? O retângulo dessa altura tem área $\bar{f}\cdot (b-a)$; igualando à integral,

$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Total dividido por tamanho — o que uma média sempre foi. Visualmente, é nivelar um líquido: encha a região embaixo da curva d’água e solte; os picos escorrem para os vales até a superfície ficar plana, sem volume entrando nem saindo. Para a velocidade, $\bar{f}$ é a velocidade constante que faria a mesma viagem no mesmo tempo — e normalmente não é a média entre a inicial e a final: se você passou muito mais tempo devagar, a média pende para o devagar. Na viagem do laboratório, a média dá 60,1 km/h.

E é diferente da média de uma lista: toda faixa do intervalo contribui, com peso proporcional à largura. Quando a função é contínua, há um bônus — existe pelo menos um ponto onde a curva assume exatamente o valor médio (o teorema do valor médio para integrais).

A função que acumula

Até aqui o intervalo era fixo. Agora solte o limite de cima e deixe-o andar:

$$A(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$

Para cada $x$, $A$ devolve tudo o que foi acumulado até ali: a integral virou uma máquina de fabricar função. Empurre a fronteira de $x$ para $x+h$: só entra uma faixa fina, quase um retângulo de altura $f(x)$ e largura $h$. Então $A(x+h)-A(x)\approx f(x)h$. Divida por $h$ e tome o limite — é exatamente o quociente de diferenças do episódio da derivada:

$$A^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=f(x).$$

Você integrou $f$ para construir $A$, derivou $A$, e voltou em $f$. Derivar desfez integrar. É o Teorema Fundamental do Cálculo, disfarçado numa frase.

Três leituras, uma operação

Então, o que é uma integral? Um limite de somas: infinitas contribuições pequenas, combinadas por um limite preciso. Uma acumulação líquida: o que foi ganho menos o que foi perdido. Uma área com sinal: o tamanho embaixo da curva, com sinal. Não há uma “de verdade” e duas analogias — são três ângulos da mesma operação.

E as duas metades do cálculo ficam lado a lado: a derivada vai do total para o local, a integral vai do local para o total. Setas opostas na mesma estrada.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• A energia, que se acumula integrando potência e força: o que é energia.
• No laboratório, as quatro vistas juntas.