A ideia que deu origem ao cálculo

A calculadora trava num ponto só

Digite na calculadora: $1÷0$. Erro. Agora $1÷0,1$: dez. $1÷0,01$: cem. $1÷0,001$: mil. A calculadora não tem problema nenhum com números perto de zero — responde todos. Ela trava só quando você cai exatamente em cima dele.

E não é implicância. Dividir é fazer uma pergunta específica: $10÷2$ pergunta que número, vezes 2, dá 10 (resposta: 5). Então $1÷0$ pergunta que número, vezes zero, dá 1 — e nenhum serve, porque qualquer número vezes zero dá zero. Já $0÷0$ é pior: que número, vezes zero, dá zero? Cinco serve, sete serve, menos trezentos serve. Uma conta com infinitas respostas é tão inútil quanto uma sem resposta nenhuma. É por isso que dividir por zero é proibido: não é convenção, é a pergunta que quebra.

A parte interessante é que a matemática não parou na proibição. Ela trocou a pergunta: em vez de “quanto vale em zero?”, “para onde as contas estão indo perto de zero?” — e essa pergunta às vezes tem uma resposta única.

Pela direita e pela esquerda

Leve isso a sério com $f(x)=1/x$. Chegando a zero pela direita, um décimo dá dez, um centésimo dá cem, um milionésimo dá um milhão: escolha qualquer barreira e dá para chegar perto o bastante de zero para passar por cima dela. A função “tende ao infinito” — o que não quer dizer que ela receba um valor chamado infinito, e sim que passa de qualquer barreira e fica passando.

Só que isso é metade do gráfico. Pela esquerda, $-0,1$ dá $-10$, $-0,01$ dá $-100$, $-10^{-6}$ dá $-10^6$: a função despenca. Um lado sobe sem fim, o outro desce sem fim. O que a função faz chegando por valores menores é o limite lateral pela esquerda; por valores maiores, pela direita:

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty .$$

E a regra é: só existe limite quando os dois lados existem e concordam. Em $1/x$ eles apontam para lados opostos — a vizinhança de zero não tem uma resposta, tem duas. Essa é a razão honesta de não dar para dividir por zero.

O zero sobre zero que tem resposta

Agora olhe

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.$$

Em $x=1$, em cima dá zero e embaixo dá zero: o mesmo símbolo proibido, a função indefinida naquele ponto. Mas pergunte em volta: em $0,9$ ela vale $1,9$; em $0,99$, $1,99$; em $1,001$, $2,001$. Os dois lados vão para o mesmo lugar. E dá para ver por quê:

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1(x\ne 1).$$

O cancelamento exige $x-1\ne 0$. Então a função é a reta $x+1$ em todo lugar menos num ponto: uma reta com um furo. E o furo tira um ponto; não muda nada em volta. Defina na marra $f(1)=5$: o ponto passa a existir, isolado, lá em cima — e o limite continua 2. Valor no ponto e limite no ponto são duas perguntas diferentes. Quando dão a mesma resposta, a função é contínua ali:

$$f\text{ eˊ contıˊnua em }a⟺\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$$

O corredor

Um caso que parece impossível: $f(x)=x^2\mathrm{sen}(1/x)$. Perto de zero, $\mathrm{sen}(1/x)$ enlouquece: troca de sinal infinitas vezes em qualquer pedacinho. Não adianta zoom — amplie, aparecem ondas novas — e nenhuma tabela salva, porque entre dois valores testados cabem infinitas oscilações não vistas.

A saída é parar de olhar para ela. Seno de qualquer coisa fica entre $-1$ e $1$. Multiplique tudo por $x^2$, que é positivo:

$$-x^2\le x^2\mathrm{sen}\frac{1}{x}\le x^2.$$

As duas fronteiras vão para zero, então o corredor entre elas fecha. A função pode se debater quanto quiser lá dentro; o espaço onde ela se debate é que está sumindo. É o teorema do confronto: se $g(x)\le f(x)\le h(x)$ perto de $a$ e $g$ e $h$ têm o mesmo limite $L$, então $f$ também tem. Nenhum seno foi calculado, nenhuma oscilação localizada. A conclusão veio das barreiras. Limite não exige um caminho calmo; exige controle.

O jogo ε-δ

“Perto” e “controle” precisam virar algo preciso. Vira um jogo de dois jogadores. O adversário joga primeiro: escolhe uma tolerância vertical $\epsilon$ e desenha uma faixa dessa altura em volta de $L$ — pode ser generoso ou absurdamente cruel. Sua vez: você tem de achar uma faixa horizontal $\delta$ em volta de $a$ tal que todo $x$ dentro dela tenha imagem dentro da faixa dele. Se você responde qualquer $\epsilon$ que ele escolha, o limite é $L$; se existe um $\epsilon$ que te derrota, não é.

Jogue com $f(x)=2x+1$ perto de $a=2$, com $L=5$. A distância da saída até 5 é sempre o dobro da distância da entrada até 2, $|f(x)-5|=2|x-2|$, então a estratégia é $\delta =\epsilon /2$: ele pede um décimo, você entrega um vigésimo. Você não ganha uma rodada; ganha todas de uma vez, porque tem uma fórmula. E é isso que a definição diz:

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\forall \epsilon >0\exists \delta >0:0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon .$$

A ordem é o coração da coisa: o $\epsilon$ vem primeiro, e o $\delta$ pode depender dele. Por isso é uma promessa. E repare no $0<|x-a|$: é ele que faz o furo ser irrelevante. A definição nunca pergunta o que acontece no ponto — foi construída para nunca perguntar. É por isso que a proibição de dividir por zero nunca bloqueou nada.

O motor do cálculo

Então: não, você não pode dividir por zero. Mas pode fazer a única coisa que importa, controlar o que acontece perto dele — e “perto”, agora, é uma promessa: escolha a tolerância, eu entrego a proximidade.

E essa promessa resolve a pergunta que abriu o cálculo. A inclinação entre dois pontos é fácil: sobe quanto, dividido por anda quanto. Mas qual é a inclinação num ponto? Um ponto só não tem “sobe quanto” nem “anda quanto”; juntar os dois pontos dá zero sobre zero, exatamente onde se começou. A saída é a mesma do furo: não junte os pontos. Deixe uma distância $h\ne 0$, calcule a inclinação e tome o limite:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

A secante vira tangente, e nasce a taxa instantânea de variação. Toda derivada é uma divisão por zero que se aprendeu a fazer direito — o assunto de o que é uma derivada.

O cálculo exigia continuidade, e a continuidade supostamente exigia o infinitamente pequeno; mas ninguém conseguia descobrir o que o infinitamente pequeno poderia ser.

Bertrand Russell

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• A soma infinita $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =1$ é a mesma definição, para sequências: o que é o infinito.
• O limite que define a inclinação num ponto: o que é uma derivada.
• No laboratório, o jogo com cinco funções.