Afinal, o que é uma derivada?

O velocímetro mede o impossível

Velocidade é distância dividida por tempo: 100 metros em 5 segundos, 20 m/s. Mas o ponteiro do carro não diz “sua média nos últimos 5 segundos”. Ele diz agora, neste instante — e um instante não tem duração. O tempo que passa nele é zero; a distância percorrida nele é zero. Zero dividido por zero, de novo.

A saída é a mesma do episódio dos limites: não chegue no instante, chegue perto dele. Imagine um carro cuja posição é $s(t)=t^2$ metros e pergunte a velocidade em $t=3$. A média num intervalo de $h$ segundos depois de 3 é

$$\frac{s(3+h)-s(3)}{h}=\frac{(3+h{)}^2-9}{h}.$$

Com $h=1$: 7 m/s. Com $h=0,1$: 6,1. Com $h=0,01$: 6,01. Com $h=0,001$: 6,001. Cada uma é uma média honesta, com um intervalo de verdade e sem divisão por zero em lugar nenhum — e os números param de mudar. Eles se acomodam em 6. Velocidade instantânea não é uma divisão; é um limite de divisões. E esse padrão — trocar a conta impossível pelo limite das contas possíveis — é a derivada inteira.

Da secante à tangente

No gráfico de posição contra tempo, a variação de posição é o quanto se sobe; a de tempo, o quanto se anda. A divisão é a inclinação da reta que liga os dois pontos, a secante. Velocidade média e inclinação da secante não são parecidas: são a mesma coisa.

Trave o primeiro ponto e arraste o segundo em direção a ele. Os dois catetos do triângulo encolhem, ambos indo a zero — mas a razão entre eles não vai. A secante gira, e vai parando de girar. O que ela vira no limite é a reta tangente.

E aqui quase todo mundo aprende errado: a tangente não é a reta que passa por dois pontos que ficaram iguais. Dois pontos iguais não definem reta nenhuma — por um ponto passam infinitas retas. A tangente nasce do comportamento das secantes enquanto os pontos se aproximam. O objeto final é um limite, não um desenho.

O quociente de diferenças

Para qualquer função: fixe um ponto $a$, ande um pouquinho $h$ para o lado, divida a variação da saída pela da entrada e tome o limite:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Com $f(x)=x^2$:

$$\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\frac{h(2a+h)}{h}=2a+h.$$

O passo que decide tudo é o cancelamento do $h$ — e ele vale porque $h\ne 0$. Sempre foi: o limite nunca deixou $h$ chegar em zero. Cancelado, sobra $2a+h$, e só então o limite leva o $h$ embora: $f^{\prime }(a)=2a$. Substituir $h=0$ no começo destruiria a expressão; o limite deixa a informação sobreviver ao intervalo desaparecendo.

A função derivada

Até aqui a derivada foi um número, num ponto: a parábola tem inclinação 2 em $a=1$, 4 em $a=2$, 6 em $a=3$ e $-2$ em $a=-1$ (ali ela desce). Deixe o ponto correr pela curva inteira e junte as inclinações: o resultado é uma função nova, a derivada, que responde outra pergunta — a original diz onde a curva está; a derivada diz o quanto ela muda.

Para $x^2$, a derivada é $2x$, uma reta, e as duas conversam: onde a reta fica abaixo do eixo, a parábola desce; onde a reta cruza o zero, a parábola tem o fundo, com tangente horizontal; onde a reta fica acima, a parábola sobe. O gráfico de baixo é um relatório sobre o de cima.

A derivada tem unidade

Derivada não é uma inclinação solta num gráfico sem rótulo: ela tem unidade, a da saída dividida pela da entrada. Posição em quilômetros e tempo em horas: quilômetros por hora, velocidade. Custo em reais e quantidade em itens: reais por item, o custo marginal. Temperatura em graus e altitude em metros: graus por metro. Mesma conta, três perguntas — é a unidade que diz qual.

E isso faz da derivada uma medida de sensibilidade: quanto a saída reage quando se cutuca a entrada. Se o custo marginal perto de cem unidades é R$3poritem,produzirquatroitensamaisdevecustarunsR$ 12 a mais. “Uns”: a derivada é local, e usar a mesma taxa para prever cem itens a mais provavelmente erra, porque no meio do caminho a sensibilidade muda. Por isso um número sozinho não quer dizer nada: “dois” pode ser 2 m/s, R$ 2 por ingresso ou 2 °C por quilômetro — e a mesma velocidade de 2 m/s vira 120 em metros por minuto sem mudar nada do fenômeno. Interpretar uma derivada exige a função, o ponto e as unidades.

A melhor reta

Dê zoom numa curva suave, num ponto. Mais zoom. Em algum momento ela para de parecer curva: na tela, vira uma reta — a tangente. Cuidado com o que isso significa: a curva não virou reta, continua curva em qualquer ampliação. O que acontece é que o erro entre ela e a tangente encolhe mais rápido do que a escala, e some do quadro antes dela. Isso vira a fórmula talvez mais usada do cálculo:

$$f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h.$$

Onde eu estou, mais o quanto eu ando, vezes a taxa com que as coisas mudam aqui. E “melhor aproximação linear” tem sentido exato: entre todas as retas que passam pelo ponto, a tangente é a única cujo erro encolhe mais rápido que o próprio $h$,

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)-f^{\prime }(a)h}{h}=0,$$

enquanto qualquer outra inclinação $m$ deixa um erro proporcional a $h$, com razão $|m-f^{\prime }(a)|$.

A regra da cadeia

Muitas vezes o que se controla não afeta o resultado diretamente: mexe numa grandeza do meio, e ela mexe no resultado. Você mexe em $x$; $x$ mexe em $u$; $u$ mexe em $y$. Duas máquinas em série: a primeira transforma uma variação $\Delta x$ em $\Delta u\approx u^{\prime }(x)\Delta x$; a segunda, $\Delta u$ em $\Delta y\approx y^{\prime }(u)\Delta u$. Encaixando uma na outra, as sensibilidades se multiplicam:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$$

O cuidado é que cada derivada é avaliada no seu próprio lugar — a de fora no valor intermediário $u$, a de dentro em $x$. E as unidades se encaixam como frações: $y$ por $u$, vezes $u$ por $x$, dá $y$ por $x$.

Um círculo cujo raio cresce 2 cm/s: com que velocidade cresce a área? $A=\pi r^2$, então $\frac{dA}{dr}=2\pi r$. Em $r=3$, isso dá $6\pi$ cm² por centímetro de raio — e chegam 2 cm de raio por segundo:

$$\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}=6\pi \cdot 2=12\pi \approx 37,7{\text{cm}}^2/\text{s}.$$

A resposta depende do raio atual: com o mesmo crescimento de 2 cm/s, um círculo maior ganha área muito mais rápido.

Para que serve, e onde falha

O sinal dá a direção: positiva, a função sobe; negativa, desce; zero, ela parou de subir ou descer naquele instante. Por isso os pontos de derivada zero são candidatos a máximo ou mínimo — candidatos, não garantia. Em $x^3$, no zero, a derivada é zero e a tangente é horizontal, e não há máximo nem mínimo: a função só desacelera, encosta na horizontal e continua subindo.

Dá para derivar de novo. A derivada da derivada mede como a própria taxa muda: derive a posição e aparece a velocidade; derive a velocidade e aparece a aceleração. No gráfico, a segunda derivada é a concavidade — positiva, a curva abre para cima como uma tigela; negativa, para baixo.

Nem toda função tem derivada em todo ponto. Em $|x|$, no zero, a inclinação vale $-1$ pela esquerda e $+1$ pela direita: os dois lados existem e discordam, como em 1/x. Não existe uma reta que imite a função ali. E $|x|$ é contínua no zero — sem buraco, sem salto. Continuidade é necessária para ter derivada, mas está longe de ser suficiente: bicos, quinas e cúspides são contínuos e não deriváveis.

Taxa, inclinação, melhor reta

Então, o que é uma derivada? A taxa instantânea de variação: quanto a saída muda por unidade de entrada, agora. A inclinação da tangente: a direção da curva naquele ponto. O coeficiente da melhor aproximação linear: a reta que imita a função ali melhor que qualquer outra. Não são definições concorrentes; são três leituras do mesmo limite do quociente de diferenças.

E ela só fala do local. Vem então a pergunta inversa: se eu sei a velocidade do carro em cada instante, dá para reconstruir a distância total? Multiplique a velocidade de cada instante por um pedacinho de tempo e some tudo; faça os pedaços encolherem e pergunte para onde a soma vai. Esse limite é a outra metade do cálculo: o que é uma integral.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• A Lua cai em direção à Terra o tempo todo — e a conta que mostra isso é uma derivada segunda: a Lua está caindo.
• No laboratório, as quatro vistas juntas.