Como sabemos que o átomo existe

A dúvida

Em 1900, o átomo era uma hipótese controversa. A química inteira já funcionava com ele — proporções fixas, fórmulas, a tabela periódica —, mas funcionar não é existir. Químicos de primeira linha, como Wilhelm Ostwald, sustentavam que o átomo era só um jeito conveniente de organizar as contas, como o meridiano de Greenwich é conveniente sem que exista uma linha pintada no chão. Ninguém tinha visto um. Ninguém sabia quantos havia.

A pergunta é honesta, e ela é sobre método: como provar que existe uma coisa bilhões de vezes menor do que qualquer microscópio da época conseguia enxergar? A resposta que resolveu isso em oito anos não veio de um microscópio melhor. Veio de olhar um grão de poeira tremer na água.

O tremor

Em 1827, o botânico Robert Brown pôs grãos de pólen na água e viu, no microscópio, partículas que tremiam sem parar, em ziguezague. Achou que fosse vida. Repetiu com poeira de rocha — e com um pedaço de esfinge egípcia moída, coisas mortas há milênios. Tremiam igual. Ninguém soube explicar aquilo por quase oitenta anos.

Em 1905, no mesmo ano da relatividade, Einstein publicou a explicação. O grão treme porque está sendo bombardeado por moléculas de água — bilhões de batidas por segundo, vindas de todos os lados. Na média elas se cancelam, mas só na média: a cada instante sobra um desequilíbrio, e é esse resto de quase nada que empurra o grão. O tremor é o átomo, visível através de um grão grande o bastante para você enxergar.

A raiz do tempo

Einstein fez mais do que explicar: deu um número para conferir. Uma coisa empurrada numa direção fixa se afasta proporcionalmente ao tempo. Mas o grão sorteia a direção a cada instante, e quem sorteia direção se afasta proporcionalmente à raiz do tempo.

O motivo cabe em uma linha. Depois de $N$ passos independentes ${\delta }_i$, cada um com média zero e variância $s^2$, o deslocamento é a soma deles, e o quadrado médio da soma é a soma dos quadrados médios — os termos cruzados se anulam em média, porque os passos são independentes:

$$⟨({\sum }_i{\delta }_i{)}^2⟩={\sum }_i⟨{\delta }_i^2⟩+{\sum }_{i\ne j}⟨{\delta }_i⟩⟨{\delta }_j⟩=N{s}^2.$$

O quadrado médio cresce como o número de passos — isto é, como o tempo. O deslocamento típico cresce como a raiz. Na forma de Einstein, para cada direção,

$$⟨x^2⟩=2Dt.$$

Quatro vezes mais tempo, só o dobro do afastamento. Essa é a assinatura, e ela é medível com um microscópio e um cronômetro.

O número escondido na fórmula

A segunda metade da fórmula de Einstein diz quanto vale o coeficiente de difusão $D$. Um grão de raio $a$ num líquido de viscosidade $\eta$ sente um atrito de $6\pi \eta a$ por unidade de velocidade (a lei de Stokes), e o equilíbrio entre esse atrito e as batidas térmicas dá

$$D=\frac{k_{B}T}{6\pi \eta a}=\frac{RT}{N_A\cdot 6\pi \eta a}.$$

Tudo na fórmula se mede numa bancada — a temperatura $T$, a viscosidade $\eta$, o raio $a$ do grão, a constante dos gases $R$ —, menos $N_A$, o número de moléculas num mol. Para um grão de meio micrômetro em água a 20 °C, $D\approx$ 0,43 µm²/s, e em 30 segundos ele se afasta uns 5,1 µm em cada direção: pouco, mas visível num bom microscópio.

A medida de Perrin

Jean Perrin pegou essa previsão e passou anos medindo. Preparou grãos de resina todos do mesmo tamanho — o que já era um trabalho enorme, separando-os por centrifugação —, e marcou a posição de um grão a cada 30 segundos, milhares de vezes, desenhando o ziguezague no papel quadriculado. O afastamento cresceu com a raiz do tempo, como a fórmula mandava.

E então ele inverteu a conta. Medindo $⟨x^2⟩$ no intervalo $t$, o único desconhecido sai:

$$N_A=\frac{RTt}{3\pi \eta a⟨x^2⟩}.$$

O resultado foi cerca de seiscentos sextilhões de moléculas por mol — seis seguido de 23 zeros. O valor de referência hoje, fixado por definição desde 2019, é $N_A=$ 6,02214076 × 10²³. Pela primeira vez alguém contou átomos sem nunca ter visto um.

A atmosfera num tubo de ensaio

Perrin tinha uma segunda rota com os mesmos grãos. Numa suspensão em repouso, os grãos ficam mais concentrados embaixo e rareiam para cima — exatamente como o ar da atmosfera, que rareia com a altitude. O equilíbrio entre o peso e a agitação térmica dá uma concentração que cai exponencialmente:

$$n(h)=n_0{e}^{-h/H},H=\frac{k_{B}T}{m_{\text{ef}}g}=\frac{RT}{N_A{m}_{\text{ef}}g},$$

em que $m_{\text{ef}}$ é a massa do grão menos o empuxo da água. Para a atmosfera, $H$ é de quilômetros; para grãos de resina de 0,2 µm, de uns 53 micrômetros. Contando grãos em alturas diferentes ao microscópio, Perrin media $H$ — e $N_A$ saía de novo, da mesma fórmula com outra física.

O argumento que fechou

Uma medida só não convence, e Perrin sabia disso: sempre dá para dizer que a fórmula foi ajustada para dar aquilo. Então ele foi atrás de outros caminhos para o mesmo número — caminhos que não têm nada a ver um com o outro:

• a viscosidade dos gases, pela teoria cinética;
• o movimento browniano: deslocamentos, rotações e difusão;
• a distribuição dos grãos com a altura;
• o azul do céu, que depende do tamanho e do número das moléculas do ar que espalham a luz;
• a radiação do corpo negro, pela constante de Planck;
• a carga do elétron, medida nas gotículas de óleo;
• a radioatividade, contando partículas alfa uma a uma e pesando o hélio que elas viram.

No livro Les Atomes, de 1913, Perrin reuniu treze métodos assim, com físicas completamente diferentes. Todos caíram entre 6 e 7,5 vezes $10^{23}$ — o mesmo número dentro do erro experimental da época.

O fim da dúvida

Em 1909, Ostwald — que tinha passado a carreira negando o átomo — escreveu que os experimentos de movimento browniano davam ao cientista mais cauteloso o direito de falar em prova experimental da constituição atômica da matéria. Perrin ganhou o Nobel de Física de 1926 por esse trabalho.

O que fica não é a história: é o método, que continua sendo como a física decide qualquer coisa que não dá para ver. Buracos negros, neutrinos, o bóson de Higgs, a estrutura do interior da Terra — nada disso é observado do jeito que se observa uma cadeira. Em todos, o argumento tem a mesma forma: várias rotas independentes, com hipóteses diferentes, caindo no mesmo número.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• O livro de Perrin, Les Atomes (1913), continua sendo uma leitura deliciosa e foi traduzido para várias línguas.
• O argumento de várias rotas para o mesmo número tem nome em filosofia da ciência: consiliência.
• A mesma agitação térmica que empurra o grão é o assunto de o que é temperatura e o que é entropia.