Da secante à tangente

As quatro vistas

Da secante à tangente. Escolha a função e o ponto $a$. A reta lilás passa por $(a,f(a))$ e por $(a+h,f(a+h))$: a inclinação dela é o quociente de diferenças $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Encolha $h$ — ou aperte Aproximar — e veja a secante girar e parar em cima da tangente verde. Trocar de lado faz $h$ negativo: a secante vem pela esquerda. Em $|x|$, no zero, os dois lados dão $-1$ e $+1$ e nunca concordam: não existe derivada ali.

A função derivada. O ponto percorre a curva com a tangente, e embaixo a inclinação vai sendo traçada — verde onde a função sobe, vermelha onde desce. Para $x^2$ sai a reta $2x$; para $\mathrm{sen}x$, o cosseno; para $e^x$, ela mesma.

A lupa. Zoom num ponto: a janela tem a mesma escala nos dois eixos, então nada é esticado para enganar o olho. A curva nunca vira reta, mas o erro entre ela e a tangente (o traço vermelho) encolhe mais rápido que a janela — a razão “erro ÷ largura” vai a zero. É o sentido exato de “melhor aproximação linear”.

A regra da cadeia. Um círculo com o raio crescendo 2 cm/s. A área responde ao raio com $\frac{dA}{dr}=2\pi r$, e o raio responde ao tempo com $\frac{dr}{dt}=2$: as duas sensibilidades se multiplicam. O anel dourado é a área que entra no próximo décimo de segundo. Em $r=3$, $12\pi \approx 37,7$ cm² por segundo.