A sala dos aniversários

As quatro vistas

Uma sala. O círculo é o ano: cada risco é um dia, e cada pessoa que entra acende no dia do aniversário dela. Cada par de pessoas vira uma corda dourada — é por isso que a teia fica densa tão rápido. Com 23 pessoas são 253 cordas, e basta uma delas ligar dois pontos no mesmo dia.

Mil salas. Aqui a figura sorteia salas sem parar. Cada sala recebe pessoas até a primeira coincidência, e a barra daquela posição cresce. A linha branca é a distribuição exata; o histograma sorteado precisa encostar nela, e encosta. A média de pessoas até a primeira coincidência converge para 24,62.

A curva. A curva verde é a chance de duas pessoas quaisquer coincidirem; a vermelha, a de alguém fazer aniversário no seu dia. Em 23 pessoas a verde já passou de 50% e a vermelha está em 5,9%. Troque os 365 dias por códigos hexadecimais e a mesma figura mostra quando os hashes curtos do Git começam a colidir.

Os pares. Pessoas numa roda. As linhas vermelhas são os pares que passam por você; as douradas, todos os outros. Dobre a roda de 23 para 46 e veja as douradas quadruplicarem: 253 viram 1.035.

Experimente

• Na vista Uma sala, aperte Sala de 23 umas vinte vezes e conte quantas tiveram coincidência. Deve dar por volta de metade — a conta exata é 50,7%.
• Ainda na sala, desligue Desenhar os pares. A coincidência continua acontecendo na mesma frequência, mas fica muito mais difícil de prever olhando só os pontos. As cordas são a explicação desenhada.
• Em A curva, escolha 7 hex (Git). Metade de chance de colisão chega em cerca de 19.291 versões, e não em centenas de milhões.
• Em Mil salas, mova o limite para 41 pessoas. A conta exata diz 90,3% — e o histograma sorteado concorda até a primeira casa decimal depois de alguns milhares de salas.

A conta que a figura faz

A chance de ninguém coincidir é um produto: a segunda pessoa precisa evitar um dia, a terceira dois, e assim por diante.

$$P(\text{todos diferentes})=\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)$$

A chance de pelo menos uma coincidência é o que sobra, $1-P$. Para muitos dias $N$, cada fator é quase $e^{-k/N}$, e a soma dos expoentes é o número de pares dividido por $N$:

$$P(\text{alguma coincideˆncia})\approx 1-e^{-n(n-1)/2N}.$$

Igualando a ½, sai $n\approx \sqrt{2N\ln 2}\approx 1,1774\sqrt{N}$ — 23,0 pessoas para 365 dias. A raiz quadrada é o motivo de 23 parecer pouco: o número de pares cresce com o quadrado da sala.