O primeiro dígito

As duas vistas

Os dados. As barras azuis são a proporção de números que começa com cada dígito; a linha dourada é a lei de Benford, ${\log }_{10}(1+1/d)$; a linha tracejada é o “todos iguais” que a intuição espera, 11,1%. Os conjuntos vão de dados reais (a área dos 177 países do mapa-múndi do episódio sobre mapas) a dados que não deveriam obedecer: alturas de pessoas, sorteios e números inventados.

A régua. Uma cidade de mil habitantes crescendo a uma taxa fixa. Numa régua logarítmica ela anda com velocidade constante — e a faixa do 1 é a mais larga. O relógio embaixo acumula o tempo que ela passa em cada dígito. A 7% ao ano, são 10,2 anos começando com 1 contra 1,6 começando com 9.

Experimente

• Escolha Sorteio 1–999 e depois Cidades crescendo. As duas listas têm números de tamanho parecido; só a segunda nasceu de multiplicação.
• Com Cidades crescendo, arraste Multiplicar tudo por: as barras quase não se mexem. Agora faça o mesmo com Sorteio 1–999 e veja o histograma se desmanchar. É o argumento do episódio feito à mão: só a distribuição de Benford sobrevive a qualquer troca de unidade.
• Alturas (cm) reprova sempre: quase todo mundo mede entre 150 e 199 centímetros, e os dados não varrem várias ordens de grandeza.
• Cole os números de uma planilha sua em Seus números. Faturas, despesas, populações e saldos costumam obedecer; códigos, telefones, notas de prova e preços tabelados, não.

Como o teste funciona

O desvio médio absoluto (MAD) compara, dígito a dígito, a proporção observada com a de Benford:

$$\text{MAD}=\frac{1}{9}\sum _{d=1}^9\left|{\hat{p}}_d-{\log }_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right)\right|.$$

As faixas usadas aqui são as de Mark Nigrini, o auditor que popularizou o teste: abaixo de 0,006 a conformidade é próxima; até 0,012, aceitável; até 0,015, marginal; acima disso, os dados não seguem a lei. O MAD é preferido ao teste de χ² em auditoria porque o χ² reprova qualquer arquivo grande o bastante — com milhões de linhas, um desvio minúsculo e inofensivo já vira “significativo”.