O jogo épsilon-delta

As três vistas

O jogo ε-δ. A definição de limite como um jogo de dois jogadores. O adversário escolhe $\epsilon$: a faixa dourada, de altura $2\epsilon$ em volta de $L$. Você responde com $\delta$: a faixa azul, de largura $2\delta$ em volta de $a$. Você ganha a rodada se todo $x$ dentro da faixa azul — menos o próprio $a$ — tem $f(x)$ dentro da dourada. O pedaço do gráfico na faixa azul fica verde onde cumpre a promessa e vermelho onde escapa. A janela acompanha as faixas, então dá para jogar com $\epsilon$ de um décimo de milésimo e ver tudo.

Nas três primeiras funções existe uma estratégia — um $\delta$ que depende de $\epsilon$ e ganha qualquer rodada:

• $2x+1$ perto de 2: $\delta =\epsilon /2$, porque a distância até 5 é o dobro da distância até 2.
• $(x^2-1)/(x-1)$ perto de 1: $\delta =\epsilon$, porque fora do furo a função é $x+1$.
• $x^2\mathrm{sen}(1/x)$ perto de 0: $\delta =\sqrt{\epsilon }$, porque $|f(x)|\le x^2<{\delta }^2$.

Nas duas últimas, $1/x$ e o degrau, não existe limite: escolha o palpite que quiser para $L$, e um $\epsilon$ pequeno derrota qualquer $\delta$.

Os vizinhos. A tabela que todo mundo faz primeiro: a função em $a\pm 0,1$, $a\pm 0,01$, … até $a\pm 10^{-6}$, pela esquerda e pela direita. Em $1/x$, um lado sobe sem fim e o outro desce sem fim.

O corredor. $x^2\mathrm{sen}(1/x)$ entre $-x^2$ e $x^2$, com zoom. As oscilações não acabam em escala nenhuma, e a simulação confere em milhares de pontos que a função nunca sai do corredor — que fecha em zero. É o teorema do confronto.