Afinal, o que é o infinito?

Não existe o maior número

Qual é o maior número natural? Pense em um, com bilhões de algarismos se quiser. Some um: aquele que parecia imenso já não é o maior. Se você consegue apontar para ele, eu consigo pedir o próximo.

Então talvez o infinito seja o cartão seguinte — um número especial, colocado depois de todos, onde a fila acaba. Só que a fila não acaba num cartão escondido. O que define os naturais é exatamente a regra de que todo número tem um sucessor: não sobrou lugar no fim para pôr coisa alguma, porque não existe fim. Infinito não é um natural gigante esperando na ponta da reta. Por isso “infinito mais um” não é uma conta — antes de escrever isso, é preciso dizer em que sistema se está trabalhando, e os naturais não são um deles.

Um símbolo, três perguntas

Parte da confusão é que o mesmo símbolo $\infty$ responde perguntas diferentes:

1. Um processo que nunca precisa parar — contar, dividir ao meio, rodar um algoritmo de novo.
2. O tamanho de uma coleção sem último elemento — quantos naturais existem.
3. O comportamento de uma expressão que cresce sem teto — como $n^2$ quando $n$ aumenta.

As três conversam, mas não são a mesma definição. Tratá-las como um número só é exatamente o que fabrica paradoxo.

Potencial e atual

A indução prova uma afirmação para todos os naturais, sem verificar infinitos casos: ela prova duas coisas finitas — que a afirmação começa verdadeira e que passa de cada caso para o seguinte — e com isso qualquer posição que você escolher já está coberta. Não porque alguém chegou lá, mas porque a regra alcança.

Esse é o infinito potencial: não existe uma última etapa concluída, existe uma regra que sempre autoriza mais uma. Infinito potencial é um verbo — continuar.

A matemática moderna faz uma coisa mais ousada: pega a coleção inteira dos naturais e a trata como um objeto só, um conjunto, pronto. Esse é o infinito atual. As duas perspectivas respondem coisas diferentes: uma fala sobre continuar; a outra permite comparar coleções inteiras e perguntar qual é maior. É dessa segunda que sai tudo o que é estranho daqui para a frente.

O hotel de Hilbert

Imagine um hotel com um quarto para cada número natural — quarto 1, quarto 2, quarto 3, sem último quarto —, e todos ocupados. Num hotel normal, lotado é lotado. Aqui, “todos os quartos ocupados” e “não tem vaga” deixam de ser a mesma coisa.

Chega um hóspede. O gerente pede: olhe o número do seu quarto, some um e mude para lá. Quem está no quarto $n$ vai para o $n+1$; todo $n$ tem um $n+1$, e ele existe. O quarto 1 fica vazio — ninguém foi expulso, nenhum quarto foi construído, e apareceu uma vaga.

Chega um ônibus com infinitos passageiros. Somar um não resolve. O gerente muda a regra: o hóspede do quarto $n$ vai para o $2n$. Todo mundo termina num quarto par, e os ímpares — infinitos — ficam livres, um para cada passageiro: o passageiro $k$ vai para o quarto $2k-1$. Repare no que isso não é: não é a conta “infinito mais infinito”. É uma correspondência, uma regra que emparelha sem sobrar ninguém dos dois lados.

Emparelhar é contar sem contar

Para coleções finitas, comparar tamanho é contar as duas. Para infinitas, contar não termina — então usa-se uma ideia que funciona sem contar: duas coleções têm o mesmo tamanho se dá para casar cada elemento de uma com exatamente um da outra, sem sobrar ninguém de nenhum lado. Em linguagem de conjuntos, se existe uma bijeção entre elas.

E a consequência é estranha: os naturais e os pares têm o mesmo tamanho, pela regra $n\leftrightarrow 2n$ — mesmo os pares sendo, intuitivamente, “metade”. Os inteiros, com os negativos, também cabem numa fila: $0,1,-1,2,-2,\dots$, vai e volta, e todo inteiro aparece em alguma posição.

E as frações? Parece muito mais: entre dois inteiros quaisquer há infinitas frações. Mesmo assim, arrume as frações positivas numa grade, numerador numa direção e denominador na outra, e percorra a grade em diagonais, pulando as repetições (como $2/2$, que é o mesmo número que $1/1$). Cada fração aparece numa posição finita da fila: $2/3$, por exemplo, é a 7ª; $3/5$ é a 19ª.

Uma coleção que cabe numa fila dessas se chama enumerável. Não quer dizer que alguém vá terminar de contar: quer dizer que existe uma regra que dá a cada elemento uma posição — e uma posição finita. A essa altura dá para começar a achar que todo infinito é assim. Foi aí que Cantor fez a pergunta perigosa: e as sequências infinitas de zeros e uns?

A diagonal de Cantor

Suponha que alguém chegue e diga: construí a lista completa de todas as sequências infinitas de zeros e uns, uma em cada linha. Não interessa como ela foi organizada; conceda que é a melhor tentativa possível. Olhe a diagonal: o primeiro bit da primeira linha, o segundo da segunda, o $n$-ésimo da $n$-ésima. Construa uma sequência nova trocando cada bit da diagonal — zero vira um, um vira zero:

$$s_n=1-a_{n,n}.$$

Essa sequência está na lista? Não pode ser a primeira linha: o primeiro bit é diferente. Nem a segunda: o segundo bit é diferente. Nem a linha $n$: na posição $n$ ela foi trocada de propósito. Ela difere de toda linha em pelo menos um lugar, então não é nenhuma delas. A lista “completa” acabou de perder um elemento.

E o argumento não ataca uma lista específica: ataca qualquer lista. Traga outra tentativa e a diagonal acha outra sequência que falta. Não existe lista completa: as sequências binárias são não enumeráveis — estritamente mais numerosas que os naturais. Existem infinitos de tamanhos diferentes, e a prova vale inclusive contra as tentativas que ninguém inventou ainda.

Somas infinitas

Ande metade de um caminho; depois metade do que falta; depois metade do resto. As distâncias somadas são $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$. Sempre existe um próximo termo — a soma nunca acaba de ser escrita —, e mesmo assim os pontos claramente vão para o fim do caminho. A saída é não tentar chegar no último termo, porque ele não existe. Some uma quantidade finita e veja o que acontece:

$$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}.$$

O que falta para chegar em 1 é exatamente $2^{-n}$: com $n=10$, um milésimo; com $n=20$, um milionésimo. Escolha qualquer tolerância positiva $\epsilon$, por menor que seja: existe um ponto da sequência a partir do qual a distância até 1 é menor que ela. Por isso o valor da série é definido como o limite das somas parciais:

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=1.$$

Não é “somar tudo”; é “para onde as somas parciais estão indo”. E a definição não é decoração: em $1+1+1+\cdots$ as somas parciais são $1,2,3,\dots$, crescem sem teto e não vão para lugar nenhum. Ter infinitos termos não determina o resultado; o que determina é o comportamento das aproximações.

O caso mais traiçoeiro é a série harmônica, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$: os termos vão a zero, e mesmo assim a soma cresce sem teto. A prova, de Nicole Oresme, por volta de 1350, agrupa os termos:

$$1+\frac{1}{2}+\underset{>\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}+\underset{>\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}}}+\underset{>\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}}}+\cdots$$

Cada grupo passa de meio, e há infinitos grupos. Ela cresce devagar — como $\ln n$; só passa de 10 depois de 12.367 termos —, mas passa de qualquer número.

O que é, afinal

Nos naturais, infinito quer dizer que não existe último elemento. Na teoria dos conjuntos, vira tamanho — e emparelhar revela que algumas coleções infinitas são estritamente maiores que outras. Na análise, descreve comportamento: somas parciais se aproximando de um valor, expressões crescendo sem teto. Três perguntas, três respostas, um símbolo só.

O infinito não é uma coisa colocada no fim do universo matemático, esperando alguém chegar. É uma maneira de falar com precisão sobre estruturas que não se esgotam num número finito de passos — e é o contexto que decide quais operações valem. Ficou uma dívida: como provar que uma sequência “chega perto quanto quiser” de um valor, sem executar infinitos passos? É o assunto de o que é um limite.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• O “chega perto quanto quiser” virando definição exata: o que é um limite.
• A soma infinita que dá um número finito também aparece na por que a noite é escura — ali, uma soma que deveria divergir e não diverge.
• No laboratório: o hotel e a diagonal.