Por que a noite é escura

A pergunta boba

Por que a noite é escura? A resposta que vem na hora é que o Sol se pôs. Mas essa responde por que não é dia — não explica o céu. O céu está cheio de estrelas, e estrelas brilham do mesmo jeito que o Sol brilha. A pergunta certa é: por que o céu não está aceso?

Pense num universo infinito, com idade infinita, e estrelas espalhadas por igual até onde for. Escolha uma direção qualquer e siga em linha reta. Se o universo não acaba e tem estrelas por toda parte, essa linha vai acabar batendo na superfície de alguma estrela — sempre, em qualquer direção. E se toda direção acaba numa superfície de estrela, o céu inteiro deveria brilhar como a superfície do Sol, a uns 5.772 K. Dia e noite.

Isso se chama paradoxo de Olbers, por causa de Heinrich Olbers, que o formulou em 1823 (Kepler e Halley já tinham esbarrado nele antes). E não é um erro de uns por cento: a previsão é um céu com a temperatura da superfície de uma estrela, em toda parte. O que a gente vê é preto.

A conta das cascas

O argumento das linhas de visada tem uma versão em conta, mais bonita ainda. Imagine a Terra no centro e uma casca fina de estrelas em volta, a uma distância $r$, com espessura $\mathrm{d}r$. Se há $n$ estrelas por unidade de volume, a casca tem

$$\text{estrelas na casca}=n\cdot 4\pi r^2\mathrm{d}r,$$

e cada uma, com luminosidade $L$, entrega aqui um fluxo de $L/4\pi r^2$. A luz da casca inteira é o produto:

$$\mathrm{d}F=n4\pi r^2\mathrm{d}r\cdot \frac{L}{4\pi r^2}=nL\mathrm{d}r.$$

O $r^2$ cancela. Dobre a distância e duas coisas mudam em sentidos contrários: cada estrela fica quatro vezes mais fraca, e a casca fica quatro vezes maior, com quatro vezes mais estrelas. A casca de longe manda exatamente a mesma luz que a de perto. Num universo infinito existem infinitas cascas, e a soma de infinitas parcelas iguais diverge:

$$F={\int }_0^{\infty }nL\mathrm{d}r=\infty .$$

O céu não deveria ser só claro. Deveria ser infinitamente claro — a conta só para de crescer porque as estrelas da frente tapam as de trás, e aí o céu “satura” no brilho de uma superfície de estrela.

As saídas que não funcionam

Poeira no caminho. Nuvens de gás e pó bloqueando a luz de longe. Não funciona: a poeira que absorve luz esquenta, e se ela recebe luz sem parar, ela esquenta até brilhar igual às estrelas. Você não apaga o céu pondo alguma coisa na frente — só troca quem está brilhando.

Estrelas tapando estrelas. Elas tapam mesmo, mas isso não escurece nada: a linha de visada só termina mais cedo, numa superfície de estrela mais próxima. É a floresta: se ela for grande o bastante, você não enxerga a saída em direção nenhuma.

Estrelas raras demais. Essa só adia. Numa floresta de estrelas de raio $R$ e densidade $n$, uma linha de visada anda em média

$$\lambda =\frac{1}{n\pi R^2}$$

antes de bater em alguma. Estrelas raras deixam $\lambda$ enorme, mas finito — e num universo infinito a linha tem distância infinita para percorrer.

Nenhuma das três mexe no que o argumento realmente usa: que o universo é infinito no espaço e no tempo.

A resposta: o universo teve um começo

É aí que a premissa quebra. O universo tem idade — uns 13,8 bilhões de anos —, e a luz, rápida mas não instantânea, só trouxe até aqui o que estava perto o bastante para chegar nesse tempo. Além dessa distância a luz ainda está a caminho. A soma das cascas não é infinita: ela para.

Dá para medir o quanto ela para. Com a densidade média de estrelas do universo — uns $10^9$ por megaparsec cúbico — e estrelas do tamanho do Sol, o livre caminho médio de uma linha de visada é da ordem de

$$\lambda \approx \sim 10^{24}\text{anos-luz}.$$

(A conta exata com esses valores dá 2,0 × 10²⁴.) A luz teve tempo de percorrer uns $10^{10}$. A fração do céu coberta por estrelas é então

$$1-e^{-L/\lambda }\approx \frac{L}{\lambda }\approx 10^{-14},$$

— 7 × 10⁻¹⁵ pela conta. Para acender o céu inteiro, as estrelas precisariam brilhar por $10^{24}$ anos, e elas vivem uns $10^{10}$. Não deu tempo.

E o que chega vem esticado

Por cima disso, o universo está em expansão, e a luz que vem de muito longe chega com o comprimento de onda esticado pelo mesmo fator que o espaço esticou durante a viagem. Esticar luz é enfraquecer luz: cada fóton chega com menos energia, e eles chegam mais espaçados no tempo. A luz das galáxias mais distantes chega vermelha, depois infravermelha, e no limite deixa de ser visível.

A escuridão da noite não é ausência de estrelas. É o tempo de viagem delas.

O céu está aceso

E aqui o episódio dá a volta. Olhe o céu noturno com uma antena de micro-ondas em vez de com os olhos: ele não é preto. Ele brilha em toda direção, com uma uniformidade absurda — a radiação cósmica de fundo, a 2,725 K.

É luz de quando o universo inteiro era quente e opaco, uns 380 mil anos depois do começo. Toda linha de visada realmente termina numa superfície brilhante, como Olbers queria — só que essa superfície está há quase 14 bilhões de anos no passado, e a expansão esticou aquela luz uns 1.101 vezes. Um corpo a uns 3000 K, com pico de emissão perto de 966 nm (laranja incandescente), virou um corpo a 2,7 K com pico em 1,06 mm.

$$T_{\text{hoje}}=\frac{T_{\text{enta˜o}}}{1+z}\approx \frac{3000\text{K}}{1101}\approx 2,7\text{K}.$$

Quem acertou primeiro

Quem escreveu a resposta certa primeiro não foi um astrônomo. Foi Edgar Allan Poe, em 1848, no ensaio em prosa Eureka: a única explicação para os vazios do céu, escreveu ele, é que a luz das estrelas mais distantes ainda não teve tempo de chegar até nós. Oito décadas antes de alguém medir a expansão do universo.

A pergunta mais simples que uma criança faz sobre o céu tem como resposta que o universo teve um começo. O escuro é a observação.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• O livro clássico sobre o assunto é Darkness at Night: A Riddle of the Universe, de Edward Harrison (1987), que mostra que a idade finita das estrelas e do universo é a resposta principal, e a expansão um efeito adicional.
• A radiação cósmica de fundo foi descoberta por acidente em 1965, por Arno Penzias e Robert Wilson, que procuravam a origem de um ruído na antena deles.
• A soma infinita que diverge é a mesma família de perguntas de o que é o infinito.