O hotel de Hilbert

As duas vistas

O hotel lotado. Um corredor com um quarto para cada número natural, todos ocupados. Faça os pedidos ao gerente:

• Chega um hóspede. Regra $n\to n+1$: todo mundo anda um quarto, o 1 esvazia, ninguém sai.
• Chegam cinco. Regra $n\to n+5$: cinco vagas.
• Chega um ônibus infinito. Regra $n\to 2n$: os antigos vão para os quartos pares e os passageiros ocupam os ímpares — o passageiro $k$ vai para o quarto $2k-1$.
• Chegam infinitos ônibus. Ônibus $i$, passageiro $k$ (os hóspedes antigos são o “ônibus 0”): o par $(i,k)$ vai para o quarto da diagonal de Cantor, $\frac{(i+k-1)(i+k)}{2}+k$. Cada quarto recebe exatamente uma pessoa.

Os pedidos se acumulam: o hotel guarda a lista de regras, e quem está em cada quarto é calculado voltando por elas. As cores marcam de que leva cada hóspede veio.

Emparelhar. Os naturais casados um a um com os pares, os quadrados, os inteiros e as frações. Embaixo, os parceiros aparecem onde estão na reta — cada vez mais espaçados —, e mesmo assim nenhum natural fica sozinho e nenhum parceiro sobra. As frações são percorridas em diagonais pela grade $p/q$, pulando as que se repetem (como $2/2$, que já apareceu como $1/1$).