Por que a área do círculo é πr²

A figura

Corte o círculo em fatias finas, como uma pizza, e arrume-as lado a lado, alternando ponta para cima e ponta para baixo. Metade das cascas fica embaixo, metade em cima: o comprimento da faixa é meia volta, $\pi r$. A altura é o raio. Com fatias cada vez mais finas, as bordas ficam retas e a faixa vira um retângulo:

$$A=\pi r\times r=\pi r^2.$$

A conta

Com $n$ fatias, a área do polígono inscrito é $n\cdot \frac{1}{2}{r}^2\mathrm{sen}\frac{2\pi }{n}$. Com 16 fatias, já dá $3,06r^2$; com mil, $3,14157r^2$. O limite, quando $n$ cresce, é $\pi r^2$ — a mesma ideia de “fatiar e somar” da integral. Arquimedes, no século III a.C., fez a versão rigorosa, espremendo o círculo entre polígonos de dentro e de fora.