√2 é irracional: a prova que encolhe para sempre

A figura

Suponha que $\sqrt{2}$ seja uma fração $a/b$, com $a$ e $b$ inteiros positivos e os menores possíveis. Então $a^2=2b^2$: um quadrado de lado $a$ tem a mesma área que dois quadrados de lado $b$. Ponha os dois quadrados de lado $b$ dentro do grande, em cantos opostos. Eles se sobrepõem num quadrado central de lado $2b-a$ e deixam descobertos dois quadrados de canto, de lado $a-b$. Como as áreas batem, a área contada duas vezes (a sobreposição) é igual à área que ficou de fora (os dois cantos):

$$(2b-a{)}^2=2(a-b{)}^2.$$

Mas isso é uma solução menor da mesma equação — contradizendo a escolha dos menores $a$ e $b$. Então $\sqrt{2}$ não é fração. A prova geométrica é de Stanley Tennenbaum, nos anos 1950, popularizada por John Conway.

As quase-soluções

A figura anima as frações que chegam perto: $\frac{17}{12}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{3}{2}$. Para elas, $a^2-2b^2$ não é zero, mas é $\pm 1$ — e a mesma troca $(a,b)\to (2b-a,a-b)$ leva cada uma na anterior, preservando o $\pm 1$. Elas aproximam $\sqrt{2}$ cada vez melhor ($\frac{99}{70}=1,41428\dots$, contra $\sqrt{2}=1,41421\dots$), e nenhuma chega lá.