Meio, mais um quarto, mais um oitavo… dá 1

A figura

Um quadrado de área 1. Pinte a metade. Do que sobrou, pinte a metade: mais um quarto. Do que sobrou, a metade: mais um oitavo. A cada passo, o pedaço sem pintura é exatamente do tamanho do último pedaço pintado — e ele encolhe pela metade.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}.$$

O que “dá 1” quer dizer

A soma nunca termina de ser escrita, e nenhuma soma parcial chega a 1. “Dá 1” quer dizer que o que falta, $2^{-n}$, fica menor que qualquer tolerância que se escolha: depois de 10 termos falta menos de um milésimo; depois de 20, menos de um milionésimo. O valor de uma soma infinita é o limite das somas parciais — a ideia que o episódio sobre o infinito usa e o sobre o limite torna exata.