Todo cubo é uma soma de ímpares consecutivos

A figura

Escreva os ímpares em linhas: 1; depois 3 e 5; depois 7, 9 e 11; depois 13, 15, 17 e 19. Cada linha soma um cubo: $1=1^3$, $3+5=8=2^3$, $7+9+11=27=3^3$, $13+15+17+19=64=4^3$. A linha $n$ tem $n$ ímpares consecutivos, começando em $n^2-n+1$:

$$n^3=(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+\cdots +(n^2+n-1).$$

Por que funciona

Os $n$ termos da linha estão espalhados simetricamente em volta de $n^2$ (o primeiro está $n-1$ abaixo, o último $n-1$ acima). Então a média deles é $n^2$, e a soma é $n\times n^2=n^3$.

E as linhas se encaixam: elas usam os ímpares em ordem, sem pular nenhum. As $n$ primeiras linhas, juntas, são os primeiros $1+2+\cdots +n$ ímpares — cuja soma é o quadrado desse número, pela soma dos ímpares. Daí sai, de graça, a soma dos cubos: $1^3+\cdots +n^3=(1+\cdots +n{)}^2$.