A soma dos cubos é um quadrado perfeito

A figura

Um quadrado de lado $1+2+\cdots +n$. Ele se divide em “molduras” em L: a moldura $k$ é o que o quadrado de lado $1+\cdots +k$ tem a mais que o de lado $1+\cdots +(k-1)$. E cada moldura $k$ é feita de exatamente $k$ quadrados $k\times k$ — ou seja, tem área $k^3$. O quadrado inteiro é a soma das molduras:

$$1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2.$$

A conta

Com $T_k=1+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$, a moldura $k$ tem área $T_k^2-T_{k-1}^2=(T_k-T_{k-1})(T_k+T_{k-1})$. O primeiro fator é $k$; o segundo é $\frac{k(k+1)+(k-1)k}{2}=k^2$. Produto: $k^3$. A identidade é conhecida como teorema de Nicômaco, matemático grego do século I.