Pitágoras: o mesmo quadrado, duas arrumações

A figura

Um quadrado de lado $a+b$, com quatro triângulos retângulos iguais dentro (catetos $a$ e $b$, hipotenusa $c$). Na primeira arrumação, os triângulos ficam nos cantos e o que sobra no meio é um quadrado inclinado de lado $c$: área $c^2$. Na segunda, os mesmos quatro triângulos se juntam em dois retângulos $a\times b$, e o que sobra são dois quadrados, de áreas $a^2$ e $b^2$. Mesmo quadrado, mesmos triângulos — então as sobras são iguais:

$$c^2=a^2+b^2.$$

A conta

A mesma ideia, em álgebra: a área do quadrado grande, contada pelas duas arrumações, é

$$(a+b{)}^2=c^2+4\cdot \frac{ab}{2}⟹a^2+2ab+b^2=c^2+2ab⟹a^2+b^2=c^2.$$

Uma figura desse tipo aparece no Zhoubi Suanjing, um texto chinês de matemática e astronomia de mais de dois mil anos. O teorema tem centenas de demonstrações conhecidas; esta é das mais curtas.